SmallWorld II

Esta entrada con nombre de secuela de Hollywood servirá para apagar vuestras ansias de saber más acerca de lo pequeño que es el mundo y lo fácil que es encontrarse a alguien que conoce a alguien que vosotros conocéis incluso en la Antártida.

Y es que, aunque intuitivamente ya habíamos captado la esencia del problema, todavía no lo habíamos formulado de una manera muy precisa. ¿Qué caracteriza a una red del tipo “mundo pequeño”? En un artículo recientemente publicado en la revista Nature, Duncan Watts y Steven Strogatz efectúan el primer intento analítico de estudiar el fenómeno a partir de la topología, una rama de la matemática que surge, perdóneseme la irreverencia, hace ya más de 250 años cuando Leonard Euler le comunica a sus conciudadanos de Königsberg que jamás podrán cruzar consecutivamente los siete puentes de su ciudad sin desandar camino en el proceso, es decir, sin repetir uno o más puentes. Pero, ¿qué tiene que ver Euler con las relaciones sociales o con la fisiología? Vayamos por partes.

Cualquier clase de red puede representarse de manera abstracta mediante un gráfico compuesto por nodos (o vértices) comunicados por una serie de conexiones (o aristas). Retomando a Euler, los vértices serían los distintos barrios de la ciudad de Königsberg unidos por los siete puentes (aristas). Los matemáticos, tradicionalmente, han estudiado redes cuya topología se asume como perfectamente regular o totalmente aleatoria (ver figura 1).

En una red regular, como el cristal de cualquier elemento químico, todos los vértices presentan el mismo número de conexiones que los unen a un pequeño número de nodos vecinos de una manera muy agrupada. Por el contrario, en redes aleatorias, cada vértice se conecta arbitrariamente con otros nodos que pueden estar localizados en cualquier punto de la red. A pesar de sus diferencias, ambos tipos de redes son fácilmente descriptibles en términos estadísticos porque son redes uniformes, es decir, se comportan como un fractal, las propiedades globales de la red son iteradas localmente. Las características que mejor definen a estas redes son su longitud de vía y su grado de agrupamiento. La longitud de vía, o diámetro de la red, es una propiedad global definida como la longitud media del camino más corto (en número de conexiones) requerido para conectar un par de vértices tomados aleatoriamente entre toda la red. El segundo parámetro, el coeficiente o grado de agrupamiento, es una propiedad local de la red que mide la probabilidad media de que dos nodos conectados a un mismo vértice estén ellos a su vez conectados entre sí. Por lo tanto, las redes regulares presentan gran diámetro y alto grado de agrupamiento, mientras que las redes irregulares presentan pequeño diámetro y bajo grado de agrupamiento. En términos funcionales esto quiere decir que si queremos viajar a través de una red con la mayor rapidez posible nos interesará una topología de tipo irregular, pero si queremos mantener un orden entre los elementos de la red preferiremos una configuración regular. La gran contribución del trabajo de Watts y Strogatz es la demostración de que existe un tipo intermedio de topología, caracterizada por un diámetro pequeño (propio de redes irregulares), con un alto grado de agrupamiento (tan alto como el característico de redes regulares), es decir, una red que presenta las propiedades de un “mundo pequeño”.

small world

Para simular este tipo de red, Watts y Strogatz partieron de un diseño de topología regular, altamente ordenado (ver figura 1), en el que fueron, controladamente, introduciendo grados crecientes de desorden. Siguiendo un proceso que ellos denominaron “recableado aleatorio” fueron sustituyendo conexiones entre vértices vecinos por conexiones entre nodos seleccionados aleatoriamente de entre todos los componentes de la red (figura 1). Estudiando este tipo de redes intermedias, llegaron a la conclusión de que sólo se necesitan unas pocas conexiones aleatorias de largo alcance para hacer que el “gran mundo” regular de una red cristalina se convierta en un “mundo pequeño”. Es decir, a pesar de que la práctica totalidad de las conexiones de la red son de naturaleza local, las pocas conexiones existentes de largo alcance tienen un efecto no lineal sobre el diámetro de la red, posibilitando que dos nodos tomados aleatoriamente estén unidos a través de un número muy pequeño de conexiones.

Es muy importante enfatizar que estos “cortocircuitos” no sólo hacen disminuir la distancia efectiva a la que se encuentran esos dos vértices concretos de la red, sino también todos los nodos que están conectados a ambos. Esto es lo que posibilita que el diámetro de la red disminuya tanto. Trasladado este análisis al ejemplo, puramente anecdótico, que me unía al líder de la Alemania Nazi quiere decir que, en virtud de mi gran promiscuidad social, todos mis conocidos están, como mucho, a sólo cuatro pasos de Adolf Hitler, incluso aquellos que no han abandonado jamás mi pequeño pueblo natal en la costa lucense, a los que pido encarecidamente que no me lo tengan en cuenta.

Como ya hemos apuntado, una red de este tipo que ha surgido espontáneamente es la formada por todos los actores de cine. Pero además, como los propios autores apuntan en su artículo del año 1998, es muy probable que este tipo de diseño sea común a prácticamente todos los sistemas biológicos, sociales y artificiales conocidos. Ellos mismos proporcionan otros dos ejemplos: el mapa de suministro eléctrico de los Estados Unidos, en el que los vértices estarían compuestos por las estaciones de alta tensión y los repetidores y las conexiones serían los cables del tendido de alta tensión que unen esas estaciones. Y el segundo ejemplo sería la red neuronal que compone el sistema nervioso del gusano Caenorhabditis elegans, la única entre todos los seres vivos que es conocida en su totalidad. Otro ejemplo, bien conocido para los matemáticos desde los años 50, es la red de colaboraciones matemáticas. En este caso, los vértices son matemáticos y dos vértices están conectados si los dos investigadores aparecen como coautores en, al menos, un artículo científico. El funcionamiento de este divertimento es semejante al anteriormente expuesto en el caso de los actores de cine. El “centro” de la gráfica es el matemático Paul Erdös. La red se comportaría como una red regular si todos los matemáticos trabajasen siempre en grupos más o menos reducidos y estables, sin intercambio entre grupos locales. La red es, sin embargo, del tipo “mundo pequeño” pues, afortunadamente, las colaboraciones científicas entre individuos pertenecientes a distintas instituciones, o grupos, son relativamente habituales. La influencia que ejercen sobre el comportamiento de la red aquellos individuos que establecen conexiones aleatorias entre vértices muy alejados es tan importante que incluso yo, que no soy matemático y por lo tanto estoy fuera de la red, tengo un número “Erdös” 4, muy bajo.

Hasta aquí hemos considerado las redes como entes estáticos de los que hemos extraído su estructura básica. Sin embargo, la estructura de una red tiene importantísimas implicaciones funcionales que presentan gran interés en muchos campos muy distintos, desde la organización empresarial a la epidemiología, pasando por la neurociencia o el diseño de redes informáticas (la world wide web).

El hecho de que vivamos en un “mundo pequeño” tiene dramáticas consecuencias que se reflejan en la rapidez con la que una enfermedad se transmite a través de la población. La mayoría de los modelos de transmisión de agentes infecciosos previos a 1998 asumían que la velocidad con la que una enfermedad se transmite en una población depende del número de contactos que los individuos de esa población establecen entre sí, independientemente de la estructura de la sociedad. Watts y Strogatz nos han mostrado que ésa no es la única vía por la que un brote infeccioso puede adquirir proporciones epidémicas. Así, sujetos que establecen contactos del tipo “mundo pequeño” acortan la distancia media entre individuos e incrementan dramáticamente la tasa de propagación de la enfermedad. Pensemos en una enfermedad de transmisión sexual que en sus inicios tuvo marcadas connotaciones sociales negativas como es el SIDA. Cuando comenzó la epidemia, muchas personas creyeron estar a salvo de la enfermedad porque no pertenecían a uno de los llamados grupos de riesgo. El error está en considerar a esos grupos de riesgo como estructuras locales, aisladas unas de otras, cuando, en realidad, bastan unas pocas personas estableciendo puentes entre los distintos grupos para diseminar la enfermedad rápidamente entre toda la población. Esto puede hacer cambiar enormemente la forma en la que vemos el problema. Generalmente, los individuos que formamos parte de una población o red social no tenemos más que un conocimiento muy local de la red. Conocemos a nuestros amigos y parte de sus amigos, pero no vamos mucho más allá. Así, desconocemos totalmente los pasos que nos unen a cualquier otro miembro anónimo de la red, por ejemplo el indio Yanomamo, aunque eso no impide que un agente infeccioso originado en el “grupo social” al que yo pertenezco diezme, en muy poco tiempo, el pueblo en el que él habita, como trágicamente ha mostrado la colonización europea de América.

Ya en el terreno puramente fisiológico, el fenómeno del “mundo pequeño” es de especial relevancia en el estudio del sistema nervioso, aspecto éste que me interesa profundamente. El sistema nervioso está dividido zonalmente en estructuras especializadas en el procesamiento de diferentes tipos de información: fundamentalmente de naturaleza sensorial y/o motora. Cada región cerebral está a su vez dividida en subsistemas que representan zonas con alto grado de conectividad local, que se comunican entre sí por medio de conexiones mucho más difusas, el diseño perfecto de una red tipo “mundo pequeño”. En estas “redes” neuronales, las células nerviosas pueden, en un determinado momento, producir potenciales de acción de manera irregular, tónica, o alternar este comportamiento con la generación de ondas de actividad sincrónicamente con otras neuronas de la red. Tradicionalmente, se han relacionado estos procesos de sincronización con redes de alta conectividad, es decir, aquellas en las que todos los individuos están conectados entre sí.

Como ya hemos visto, el trabajo de Watts y Strogatz nos ofrece una solución alternativa más coherente con la estructura del sistema nervioso. Este fenómeno es de cardinal importancia, pues se ha propuesto que la sincronización entre grupos de neuronas implicadas en el procesamiento de distintos aspectos de un mismo estímulo permite su reconstrucción perceptual de manera integrada. Ayude o no esta sincronización entre grupos de neuronas al procesamiento de un estímulo concreto, está claro que el hecho de que el sistema nervioso esté organizado como una red “mundo pequeño” permite realizar, al menos, dos predicciones importantes que pueden ayudarnos a orientar nuestras investigaciones en el futuro. Primero, la percepción (y por lo tanto la tan traída y llevada conciencia) precisa de la integración de la actividad de distintas zonas cerebrales en un único patrón de actividad. Para comprender cómo sucede esta integración, deberíamos concentrarnos en resolver qué tipo de información transmiten y cómo la transmiten las neuronas que establecen conexiones difusas entre los distintos grupos neuronales. Segundo, necesitamos comprender como esa información modula el funcionamiento local de la red. Lo que tradicionalmente hemos denominado “ruido” (por ejemplo la variabilidad en la respuesta de la célula a un tipo de estímulo), podría tener un impacto mucho mayor del esperado sobre la respuesta de las células.

Este fenómeno tiene igual relevancia en muchas otras áreas. Desde la organización del lenguaje a la estructura de la mayor red artificial jamás creada, la “world wide web”, pasando por la teoría de juegos, de gran importancia en economía. Múltiples aspectos de nuestra vida diaria se han visto y se verán aún más beneficiados por el desarrollo de este marco teórico-científico. En muchos aspectos, el mundo es un pañuelo.

Luis M. Martínez Otero y Manuel Molano Mazón

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2 comentarios sobre “SmallWorld II

  1. ¡Hola! ¿Podríais explicarme qué significa esta frase?: “las propiedades globales de la red son iteradas localmente”
    ¡Gracias, un saludo!

    1. Hola Jorge,

      Esta es la propiedad fundamental de los fractales: la misma estructura, la estructura global, se repite a todas las escalas. Por eso, si haces un zoom de una imagen fractal verás que la estructura es exactamente la que tienes a escala macroscópica:

      Este link te lleva a la fotografía de un brócoli, que sigue una estructura fractal. Cada uno de los bultos que ves tiene la misma estructura que el “bulto grande” en el que se encuentra.

      En esta otra imagen hablan de cómo hacer un fractal con un triángulo como estructura básica.

      Espero haber conestado a tu pregunta. Si no es así, pregunta más!

      Gracias por tu comentario


      thegraymatters

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